مقالات صحيفة جامعة ساو باولو
جمال الرياضيات
كلاوديو بوساني, فلافيو أولوها كويلوومارسيلو فينجرأساتذة من معهد الرياضيات والإحصاء وعلوم الحاسوب بجامعة ساو باولو
البطل في هذه القصة هو ألان تورينغ، الذي كان شخصية في فيلم هوليووديلعبة المحاكاةو يمتلك جائزة علم الحاسوب التي تحمل اسمه، جائزة تورينج، التي تُمنح سنويًا لمُرمِز في المجال. في عام 1937، أظهر رياضياً أن هناك مشاكل لا يمكن حلها بواسطة الحاسوب. ولكن، لكي يفعل ذلك، كان عليه تحديد ما يعنيه "أن يكون قابلاً للحساب"، وفي هذه العملية، ابتكر آلات تورينج. هذه الآلات هي مفاهيم رياضية مجردة تُعرّف مفهوم الحساب، ونتائج رياضية مهمة اكتشفها تُظهر وجود آلة خاصة تسمى "آلة تورينج العامة"، والتي تلعب دورًا مركزيًا في نظرية الحساب. هذه الآلة العامة هي الأساس لبناء أجهزة الكمبيوتر التي نعرفها اليوم.
يحتوي المقال الأولي لتورينج على بعض الأشياء التي تجذب الانتباه والتي تظهر في عنوان المقال نفسه، والذي تم ترجمته هنا بشكل حر إلى:حول الأرقام القابلة للحساب وتطبيق على مشكلة القراركيف يمكن أن يكون هناك أرقام قابلة للحساب؟ هل يعني ذلك وجود أرقام غير قابلة للحساب؟
نعم، ولا يزال الأمر بسيطًا. ولكن، دعونا نعود قليلاً في الزمن، لأن بدايات الحساب مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالأرقام اللانهائية. في عام 1874، نشر عالم الرياضيات الألماني جورج كانتر مقالًا يوضح أن هناك أكثر من نوع واحد من اللانهائية. على وجه التحديد، أظهر أن اللانهائية للأعداد الطبيعية 0،1،2،3،... أصغر من اللانهائية للأعداد الحقيقية. ربما لاحظتها بالفعل، من رسم بسيط. اللانهائية للأعداد الحقيقية تتوافق مع خط مستمر (يُسمى هذا المجموع "المستمر")، ويمكن إدخال الأعداد الطبيعية أو الأعداد الصحيحة على هذا الخط، بشكل متباعد (يُسمى حجم اللانهائية لهذه الأعداد الأخرى "قابلاً للعد"). باستخدام استراتيجية مبتكرة، أظهر كانتر أنه لا يمكن محاذاة عناصر "المستمر" واحدًا تلو الآخر مع عناصر "قابلة للعد"، دائمًا ما يتبقى عدد ما لا يتم محاذاته. بهذه الطريقة، أظهر أن "المستمر" أكبر من الأعداد القابلة للعد بشكل صارم.
إذن، يأتي تورينج ويظهر أن هناك أعدادًا حقيقية غير قابلة للحساب. الأعداد غير القابلة للحساب هي دائمًا عناصر من المستمر. وفقًا لتعريفه، العدد الحقيقي قابل للحساب إذا كان هناك برنامج أو، في النسخة الأصلية، آلة تورينج، يطبع أرقامه إلى ما لا نهاية. ولكن لكل برنامج وكل آلة تورينج حجم نهائي ويتم تخزينه في ملف. الملف ليس سوى عدد طبيعي، والذي يمكن أن يكون كبيرًا جدًا. وبالتالي، فإن العدد الأقصى للبرامج هو عدد لا نهائي قابل للعد، ولا يمكن أن يكون هناك عدد كاف من البرامج لطباعة جميع الأعداد الحقيقية. العديد من الأعداد الحقيقية لا يمكن طباعتها بواسطة أي برنامج، وهذه هي الأعداد الحقيقية غير القابلة للحساب. والآن نعلم أن معظم الأعداد الحقيقية غير قابلة للحساب، ويمكن فقط لنسبة صغيرة منها أن يتم طباعتها بواسطة برنامج أو آلة تورينج.
حكاية صغيرة هنا. عندما كتب تورينج مقالته عام 1936، دون علمه، فقد أظهر عالم رياضيات مشهور آخر، يُدعى ألونزو تشيرش، بالفعل وجود أعداد غير قابلة للحساب، باستخدام تقنيات مختلفة تمامًا. لذلك، شكك محررو المجلة في ما إذا كان مقال تورينج أصليًا حقًا. ظل المقال على طاولة حتى اقترح شخص ما عرضه على تشيرش نفسه، الذي وجد فكرة تورينج الأصلية للغاية، ودعاه ليصبح طالب الدكتوراه لديه في الولايات المتحدة. بسبب هذا التأخير، لم يتم نشر المقال إلا في عام 1937. أكمل تورينج الدكتوراه في عام واحد وعاد إلى إنجلترا عندما اندلعت الحرب العالمية الثانية. هذا هو بداية قصة الفيلم.لعبة المحاكاةبعد أن انتهى تورينج من مساهمته الكبيرة في تاريخ علم الحاسوب الحديث.
للعودة إلى الأرقام، فإن رد الفعل الأول الذي يظهر لدى الناس عندما يتعلمون أن هناك أرقامًا غير قابلة للحساب هو: "من فضلك، اعرض لي مثالًا على رقم غير قابل للحساب". وأنا، بكل سرور، أجيب: "لا يمكنني أن أعرض لك. إذا عرضت الرقم، فهذا يعني أنني قمت بحسابه بالفعل. والرقم غير القابل للحساب لا يمكن حسابه. أليس كذلك؟ حسنًا، إذا لم يكن هذا واضحًا، فاستعد لفكرة أنك لن تتمكن أبدًا من رؤية رقم غير قابل للحساب، بالضبط لأنه غير قابل للحساب".
ولكن، إذا لم يكن الرقم قابلاً للعد، فكيف يمكننا الإشارة إليه؟ حسنًا، يجب علينا استخدام أشكال غير مباشرة لتحديد الرقم دون إجراء أي حساب. مثال مشهور هو "احتمالية توقف برنامج كمبيوتر". هذا التعبير بين علامتي الاقتباس هو تعريف الرقم. يثبت أن هذا رقم غير قابل للعد ولا يمكننا معرفة معظم خصائصه. لا يمكننا معرفة ما إذا كان هذا الرقم أقل من 0.5 أو أكبر من 0.00000001. جميع هذه الأسئلة هي أيضًا أسئلة غير قابلة للعد.
وهذا يعود إلى المقال الأولي لآلان تورينغ. لقد أظهر أن هناك مشاكل غير قابلة للحل، أي لا يمكن حلها بواسطة أي آلة تورينغ، بما في ذلك تلك المشكلة المعروفة "مشكلة القرار" (من المنطق الأول) التي كانت في عنوان مقالته.
وهكذا ولدت الحوسبة الحديثة، وإظهار أن للحوسبة حدود. هناك أشياء لن تتمكن من حسابها أبدًا، ويجب علينا أن نعيش ضمن حدود ما يمكننا فعله باستخدام آلة حاسوب. لا يعتمد نظرية تورينغ على أي لغة برمجة أو نوع من أجهزة الكمبيوتر. وبالتالي، تظل المشاكل غير القابلة للحل غير قابلة للحل بغض النظر عن أي تكنولوجيا، حتى أحدث الذكاء الاصطناعي أو التقنيات التي سيتم اختراعها في المستقبل.
________________(وجهات النظر المعبر عنها في المقالات المنشورة فيصحيفة جامعة ساو باولوهذه المقالات هي مسؤولية كاملة لمؤلفيها ولا تعكس آراء المؤسسة أو مواقف جامعة ساو باولو. يرجى زيارة [هنا]معايير تحريرية للمقالات الرأي.)
