En una recienteentrevista, el físico y divulgador científico francésChristophe Galfard, alumno del propioStephen Hawking, afirmó que “El universo que observamos con los telescopios es finito. El infinito solo existe en matemáticas”.
Puede parecer una afirmación algo controvertida e incluso audaz, para alguien que se dedica a la ciencia. Aunque también es verdad que, en nuestra vida cotidiana, usamos la palabra infinito quizás con demasiada ligereza.
El infinito en la vida cotidiana
Muchos de nuestros lectores y lectoras, padres y madres de adolescentes, sin duda demuestran una paciencia infinita con ellos (o quizás es al revés, ¿quién sabe?). Cuando una reunión comunitaria o de trabajo se vuelve aburrida, decimos que parece interminable. Y ¿qué nos dicen de las esperas interminables al teléfono para hablar con una persona y no con un chatbot cuando llamamos a un servicio de atención al cliente? InclusoToy Storynos recordó que debemos ir "al infinito y más allá".
Normalmente, cuando usamos esta palabra, nos referimos a algo extraordinariamente grande, un número gigantesco. Sin embargo, en matemáticas, no es exactamente así.
El infinito en matemáticas
El infinito matemático no es un número, es un concepto. Todos sabemos contar: 1, 2, 3… Para ello, usamos los números, que en matemáticas llamamos números naturales. Pero ¿sabe usted cuál es el último número que conoce? En realidad, se trata de una pregunta capciosa, ya que en cuanto un número muy grande pase por su mente, si suma "uno más", ya tendrá otro aún mayor.
Desde esta perspectiva, podríamos decir que existen infinitos números (los griegos clásicos —principalmente Aristóteles— afirmarían que "hay más números de lo que podamos imaginar"). El hijo de una buena amiga — la gran divulgadora y matemática Clara Grima — dijo, con solo 9 años, que "el infinito es aquello que ustedes, matemáticos, inventaron cuando se cansaron de contar".
La verdad es que la frase no podría ser más acertada. Porque una cosa es que una colección de objetos (o números) sea ilimitada y otra es decir que hay infinitos de esos objetos. Esta forma de pensar trae numerosos problemas… que Aristóteles ya predijo cuando introdujo elconcepto de infinito potencial e infinito actual.
El primero es sinónimo del ilimitado: hay más objetos que cualquier cantidad que puedas imaginar. Esta idea encaja en nuestra lógica. Nuestro cerebro está preparado para aceptarla. Con el infinito actual, sin embargo, es otra historia. Es ese salto mortal que necesitamos dar para decir que existen "infinitos números". Porque, si aceptamos decir que el conjunto de los números naturales es infinito, entonces empiezan a ocurrir "cosas extrañas". La primera es intentar responder a esta pregunta: ¿qué existe en mayor cantidad, números naturales o números pares?
La respuesta más probable que nos viene a la cabeza es que hay "el doble de números naturales que de pares". ¿Estás seguro?
Los tamaños del infinito
Imagine que colocamos los números naturales en un cajón y los pares en otro. De la primera cajón, saco un número natural. Después, busco el doble de él en la segunda cajón y los pongo juntos. Si asumimos que este proceso termina en algún momento, ocurre que ambas cajones quedan vacíos al mismo tiempo. Si, en vez de números, fueran cucharas y tenedores lo que hubiera en cada cajón… con certeza diríamos que hay la misma cantidad de ambos. Pues con los números ocurre lo mismo.
Extraño, ¿verdad? Pero la historia no termina aquí. Al final del siglo XIX, un matemático alemán,Georg Cantor,demostró que, aceptando plenamente el infinito actual, no existe un único infinito, sino muchos. ¿Cuántos? Más de cualquier cantidad que podamos imaginar.
Con suargumento de la diagonalización, Cantor demostró que el infinito de los números naturales, aquellos que sirven para contar, es menor que el infinito que surge al contar los puntos que existen en un segmento, el continuo.
Y a partir de ahí, la locura… tanto del infinito como del de su creador, pues Cantor murió después de sufrir episodios recurrentes de depresión e internamientos en instituciones psiquiátricas. Es que sus ideas revolucionarias fueron duramente criticadas por algunos matemáticos de la época, incluyendo a uno de sus profesores en Berlín,Leopold Kronecker, que llegó a escribir que Cantor era un “charlatán”y que sus ideas eran “más propias de un circo” que de la matemática.
El infinito en los días de hoy
Hoy todos alabamos la obra de Cantor y celebramos el momento en que él creó "el paraíso infinito del cual nadie podrá expulsarnos", como bienafirmó el matemático David Hilbert en 1925.
Así, el infinito se convirtió en otro concepto de la matemática. No es un número, no es una distancia… es la forma en que nosotros, los matemáticos, encontramos de ir más allá de nuestra mente, sin perder la cordura, y trabajar con él.
Sin el infinito, no tendríamos elcálculo infinitesimal, por ejemplo. Después de su descubrimiento simultáneo por los grandes geniosIsaac NewtonyGottfried Leibniz, esta herramienta ha llegado a su estado actual gracias aconcepto de límite, que nada más es la idea de acercarnos tanto como queramos, pero sin tocar. Y, gracias al cálculo infinitesimal y a sus poderosas herramientas (lasecuaciones diferenciales), conseguimos controlar el comportamiento de un electrón, así como aventurarnos a pisar la Luna o enviar una sonda más allá de los límites de nuestro Sistema Solar.
Pero, ¿realmente existen cosas infinitas?
Todo lo que se ha dicho anteriormente puede resumirse de la siguiente manera: el infinito es la concepción de lo muy grande (o de lo muy pequeño). No es un número ni una distancia. Es un concepto que podemos extender y extender... llevándolo lo más lejos que podamos.
En matemáticas, los límites son impuestos únicamente por nuestra imaginación. Sin embargo, en la física —la matemática aplicada a la vida real—, existen limitaciones propias de nuestro Universo.
Por este motivo, para encontrar algo verdaderamente infinito en el Universo en el que vivimos, basta buscar en un lugar muy específico: la mente de un matemático.
El infinito puede no existir en la realidad, pero su estudio por la matemática es esencial para comprender el mundo que nos rodea: desde lo extremadamente grande hasta lo increíblemente pequeño. Cosas de la ciencia básica...
José Antonio Prado Bassas no presta consultoría, trabaja, posee acciones o recibe financiación de cualquier empresa o organización que podría beneficiarse con la publicación de este artículo y no ha revelado ningún vínculo relevante más allá de su cargo académico.