در یک مصاحبهاخیر،فیزیکدان و دانشمند فرانسویکریستوف گالفارد، دانش‌آموز خوداستیون هاوکینگ، گفت که "جهان که با تلسکوپ ها مشاهده می کنیم، نامحدود است. نامحدود بودن فقط در ریاضی وجود دارد."
ممکن است این ادعا کمی بحث برانگیز و حتی جسورانه باشد، برای کسی که به علم اختصاص داده است. با این حال، این نیز درست است که، در زندگی روزمره ما، ممکن است از کلمه "نامحدود" با بیش از حد سبکی استفاده کنیم.
بی‌نهایت در زندگی روزمره
بسیاری از خوانندگان و خواننده‌های ما، والدین و مادران نوجوان، قطعاً صبورانه با آن‌ها (یا شاید با ما، چه کسی می‌داند؟) رفتار می‌کنند. وقتی یک جلسه یا جلسه کاری خسته‌کننده می‌شود، می‌گوییم که به نظر می‌رسد بی‌نهایت است. و چه می‌گویند از انتظارهای بی‌نهایت برای صحبت با یک فرد، نه یک ربات، هنگام تماس با خدمات مشتری؟ حتیداستان اسباب‌بازیبه ما یادآوری کرد که باید "به بی‌نهایت و فراتر" برویم.
معمولاً، وقتی از این کلمه استفاده می‌کنیم، به چیزی بسیار بزرگ، یک عدد عظیم اشاره می‌کنیم. با این حال، در ریاضیات اینطور نیست.
بی‌نهایت در ریاضیات
بی‌نهایت ریاضی، یک عدد نیست، بلکه یک مفهوم است. همه ما می‌دانیم چگونه شمارش می‌کنیم: 1، 2، 3... برای این کار، از اعداد استفاده می‌کنیم، که در ریاضیات، آن‌ها را اعداد طبیعی می‌نامیم. اما آیا می‌دانید بزرگترین عددی که می‌شناسید کدام است؟ در واقع، این یک سوال گمراه‌کننده است، زیرا هنگامی که یک عدد بسیار بزرگ در ذهن شما ظاهر می‌شود، اگر "یک" را به آن اضافه کنید، عدد بزرگتری خواهید داشت.
از این منظر، می‌توان گفت که بی‌نهایت اعداد وجود دارند (اعداد کلاسیک یونانی -به ویژه ارسطو- ادعا می‌کنند که "بیشتر از هر تعداد - محدود - که می‌توانیم تصور کنیم، اعداد وجود دارند"). فرزند یکی از دوستانم - کلارا گریما، یک ریاضیدان و منتشر کننده برجسته - در سن 9 سالگی گفت که "بی نهایت، آن چیزی است که شما، ریاضیدانان، زمانی اختراع کردید که خسته شدید از شمارش".
در واقع، این عبارت کاملاً درست است. زیرا، یک چیز، مجموعه‌ای از اشیا (یا اعداد) است که می‌تواند نامحدود باشد، و چیز دیگر، ادعای وجود بی‌نهایت از این اشیا است. این نوع تفکر، مشکلات متعددی را به همراه دارد... که آرستو تلاش کرده بود این را پیش‌بینی کند وقتی که...مفهوم بی‌نهایت بالقوه و بی‌نهایت فعلی.
اول، به معنای بی‌حد و مرز است: تعداد اشیاء بیشتر از هر تعدادی است که می‌توانید تصور کنید. این ایده با منطق ما سازگار است. مغز ما برای پذیرش آن آماده است. با مفهوم بی‌نهایت فعلی، اما داستان متفاوت است. این همان جهش است که باید انجام دهیم تا بگوییم "تعداد بی‌نهایت" وجود دارد. زیرا، اگر ما بپذیریم که مجموعه اعداد طبیعی بی‌نهایت است، آنگاه "چیزهای عجیب" شروع به وقوع می‌کنند. اولین سوال این است: کدام، اعداد طبیعی یا اعداد زوج، بیشتر هستند؟
احتمالاً، پاسخ محتمل‌ترین چیزی که به ذهن ما می‌رسد این است که "تعداد اعداد طبیعی دو برابر تعداد اعداد زوج است". آیا مطمئن هستید؟
اندازه های بی‌نهایت
فرض کنید اعداد طبیعی را در یک جعبه و اعداد زوج را در جعبه دیگر قرار می‌دهیم. از جعبه اول، یک عدد طبیعی برمی‌گیرم. سپس، مضرب دوگانه‌اش را از جعبه دوم برمی‌گیرم و آن‌ها را با هم ترکیب می‌کنم. اگر فرض کنیم این فرآیند در نهایت به پایان برسد، هر دو جعبه در یک زمان خالی می‌شوند. اگر به جای اعداد، قاشق و چنگال‌ها را در جعبه‌ها قرار دهیم، قطعاً می‌گوییم که تعداد یکسان از هر دو وجود دارد. زیرا در مورد اعداد نیز همین اتفاق می‌افتد.
عجیب است، نه؟ اما داستان اینجا به اینجا ختم نمی‌شود. در پایان قرن نوزدهم، یک ریاضیدان آلمانی،جورگ کانتور، نشان داد که با پذیرش کامل از بی‌نهایت فعلی، یک بی‌نهایت واحد وجود ندارد، بلکه بی‌نهایت‌های متعددی وجود دارد. چه تعداد؟ بیشتر از هر مقدار که بتوانیم تصور کنیم.
با استفاده ازاستدلال دایالیزاسیونکانتر نشان داد که بی‌نهایت اعداد طبیعی، آنهایی که برای شمارش استفاده می‌شوند، از بی‌نهایت موجود در نقاط موجود در یک خط، یا یک خط پیوسته، کوچکتر است.
و از آن پس، جنون... هم از بی‌نهایت و هم از خالقش، زیرا کانتر پس از گذراندن دوره‌های متعدد از افسردگی و بستری شدن در بیمارستان‌های روانی، درگذشت. زیرا ایده‌های انقلابی او به شدت مورد انتقاد برخی از ریاضیدانان آن زمان، از جمله یکی از اساتیدش در برلین، قرار گرفت.لئوپولد کرونکر, که حتی نوشت کانتر یک "شگر" استو ایده‌های او "مناسب‌تر برای یک سیرک" تا ریاضیات.
بی‌نهایت در روزهای امروزی
امروز همه از آثار کانتر تحسین می‌کنیم و از زمانی که او "بهشت بی‌نهایت را خلق کرد، جایی که هیچ‌کس نمی‌تواند ما را از آن بیرون کند" ایجاد کرد، به یاد داریم، همانطور که ریاضیدان دیوید هایلبرت در سال 1925 گفتدوید هیلبرت، ریاضیدان، در سال 1925 گفت:.
بدون بی‌نهایت، ما نمی‌توانستیم از حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کنیم.
بدون بی‌نهایت، ما نمی‌توانستیم از حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کنیم.بدون بی‌نهایت، ما نمی‌توانستیم از حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کنیم.به عنوان مثال، پس از کشف همزمان توسط بزرگان،ایزاک نیوتنوگوتفرید لايبنیتساین ابزار به شکل فعلی خود به لطفمفهوم حد، که در واقع تنها ایده این است که ما تا جایی که بخواهیم به آن نزدیک شویم، اما بدون لمس کردن. و، به لطف حساب دیفرانسیل و ابزارهای قدرتمند آن (معادلات دیفرانسیل)، ما قادر به کنترل رفتار یک الکترون هستیم، یا حتی ماجرای قدم گذاشتن روی ماه یا ارسال یک فضاپیما فراتر از مرزهای منظره شموس را تجربه می کنیم.
اما آیا واقعاً چیزهای بی نهایت وجود دارند؟
همه آنچه در بالا گفته شد را می‌توان به این صورت خلاصه کرد: بی‌نهایت، مفهوم "بسیار بزرگ" (یا "بسیار کوچک") است. این یک عدد یا فاصله نیست. بلکه مفهومی است که می‌توانیم آن را تا هر جایی که بخواهیم گسترش دهیم...
در ریاضیات، حدها فقط توسط تصور ما تعیین می‌شوند. با این حال، در فیزیک (ریاضیات کاربردی در زندگی واقعی)، محدودیت‌های خاصی برای جهان ما وجود دارد.
به همین دلیل، برای یافتن چیزی واقعاً بی‌نهایت در جهان که در آن زندگی می‌کنیم، کافی است در یک مکان خاص به دنبال آن باشیم: ذهن یک ریاضیدان.
بی‌نهایت ممکن است در واقعیت وجود نداشته باشد، اما مطالعه آن توسط ریاضیات برای درک دنیای اطراف ما ضروری است: از "بسیار بزرگ" تا "بسیار کوچک". مفاهیم علمی پایه...
ژوزه آنتونیو پرادو باساز، خدمات مشاوره‌ای ارائه نمی‌دهد، کار می‌کند، سهام ندارد یا از هیچ شرکت یا سازمانی که ممکن است از انتشار این مقاله سود ببرند، بودجه دریافت نمی‌کند و تنها ارتباط مهم او، موقعیت شغلی دانشگاهی‌اش است.