בפענחראיון, הפיזיקאי והמדען הצרפתיכריסטוף גאלפארד, סטודנט של המוסד עצמוסטיבן האווינג, טען כי "היקום שאנו צופים באמצעות טלסקופים הוא סופי. אינסוף קיים רק במתמטיקה".
זה עשוי להיראות כטענה מעט שנויה במחלוקת ואף נועזת, עבור מי שמתמחה במדע. למרות שגם נכון שאנו משתמשים במילה "אינסוף" בחיי היומיום, אולי בצורה קלה מדי.
האינסוף היומיומי
רבים מקריידי שלנו, הורים לילדים, בוודאי מראים סבלנות אינסופית כלפיהם (או אולי הם מראים סבלנות כלפינו, מי יודע?). כאשר פגישה קהילתית או עבודה הופכת משעממת, אנו אומרים שהיא נראית אינסופית. ומה הם אומרים על ההמתנות האינסופיות בטלפון כדי לדבר עם אדם ולא עם צ'אטבוט כאשר אנו מתקשרים לשירות לקוחות? אפילוToy Storyזוכר אותנו שצריך ללכת "לאינסוף ומעבר".
בדרך כלל, כאשר אנו משתמשים במילה הזו, אנו מתייחסים למשהו יוצא דופן, מספר עצום. עם זאת, במתמטיקה זה לא בדיוק כך.
אינסוף במתמטיקה
האינסוף המתמטי אינו מספר, אלא מושג. כולנו יודעים לספור: 1, 2, 3... לכך, אנו משתמשים במספרים, שאנו קוראים להם מספרים טבעיים במתמטיקה. אבל האם תוכלו להגיד לי מה המספר האחרון שאתם מכירים? למעשה, מדובר בשאלה מטעה, שכן ברגע שספר גדול מאוד יעבור מחשבתכם, ואם תספרו "אחד", תמיד יהיה לכם מספר גדול יותר.
מנקודת מבט זו, ניתן לומר שיש אינסוף מספרים (היוונים הקלאסיים -בעיקר ארסטו- היו טוענים ש"יש יותר מספרים מכל כמות - סופית - שאנו יכולים לדמיין"). הילד של חברה טובה - המדענית והמתמטיקית הגדולה קלארה גרמה - אמר, בגיל 9 בלבד, ש"האינסוף הוא הדבר שאתם, המתמטיקאים, יצרתם כשנמאס לכם לספור".
האמת היא שהמשפט הזה בדיוק מתאים. כי דבר אחד הוא קבוצה של עצמים (או מספרים) להיות אינסופית, ודבר אחר הוא לומר שיש אינסוף עצמים כאלה. הדרך הזו לחשוב גורמת לישויות רבות... שארסטו טל כבר חזה אותן כאשר הוא הציג אתהמושג של אינסוף פוטנציאלי ואינסוף קיימת.
הראשון הוא תואם ל"אינסופי": יש יותר עצמים מכל כמות שאתה יכול לדמיין. הרעיון הזה מתאים ללוגיקה שלנו. המוח שלנו מוכן לקבל אותו. אבל עם אינסוף קיימת, זה סיפור אחר. זה ה"קפיצה" שאנחנו צריכים לעשות כדי לומר שיש "אינסוף מספרים". כי אם נקבל שאוסף המספרים הטבעיים הוא אינסופי, אז מתחילות לקרות "דברים מוזרים". האחד הוא לנסות לענות על השאלה הזו: מה יש יותר, מספרים טבעיים או מספרים זוגיים?
התשובה הסבירה ביותר שעולה במוח שלנו היא שיש "כפול מספר המספרים הטבעיים מאשר המספרים הזוגיים". אתה בטוח?
גדלים של אינסוף
דמיינו שאני מכניס את המספרים הטבעיים לקופסה ואת המספרים הזוגיים לקופסה אחרת. מהקופסה הראשונה, אני בוחר מספר טבעי. אחר כך, אני מחפש את הכפולה שלו בקופסה השנייה ומניח אותם יחד. אם אני מניח שהתהליך הזה מסתיים, אז שתי הקופסאות יהיו ריקות בו זמנית. אם במקום מספרים היו סכו"לים וכפות, מה שהיה בכל קופסה... אז בטח הייתי אומר שיש את אותו מספר של שניהם. כי עם המספרים זה קורה בדיוק אותו הדבר.
מוזר, נכון? אבל הסיפור לא נגמר כאן. בסוף המאה ה-19, מתמטיקאי גרמני,גיאורג קנטר, הראה שעם אינסוף האינסוף, אין אינסוף אחד, אלא אינסופים רבים. כמה? יותר מכל כמות שאנחנו יכולים לדמיין.
עםטיעון של הדיאגונליזציה, קנטור הראה שהאינסוף של המספרים הטבעיים, אלה שמשמשים לספירה, קטן מהאינסוף שנובע מספירת הנקודות הקיימות בסעיף, הקו הלא-מוסבר.
ואז, ההזיה... של האינסוף ושל יוצרו, שכן קנטר נפטר לאחר תקופות חוזרות של דיכאון ושהייה במוסדות פסיכיאטריים. זאת, בשל הרעיונות המהפכניים שלו, אשר זכו לביקורת קשה מצד מתמטיקאים מסוימים, כולל אחד ממוריה בברלין,ליופולד קרונקר, אשר כתב שקנטר הוא "מלוכלך"ושהרעיונות שלו הם "יותר מתאימים למופע" מאשר למתמטיקה.
האינסוף בעידן הנוכחי
היום כולנו מעריצים את יצירתו של קנטור ומציינים את הרגע שבו הוא יצר "הגן האינסופי ממנו אף אחד לא יוכל להפיל אותנו", כפי שצייןהמתמטיקאי דייויד הילברט אמר בשנת 1925.
לכן, האינסוף הפך להיות מושג נוסף במתמטיקה. הוא אינו מספר, הוא אינו מרחק... הוא הדרך בה אנחנו, המתמטיקאים, יכולים לצאת מעבר לגבולות המוח שלנו, מבלי להשתגע, ולעבוד איתו.
בלי אינסוף, לא היינו יכולים להחזיקחישוב אינפיניטסימלילדוגמה, לאחר שהתגלה בו זמנית על ידי גאוני גדוליםאייזק ניוטוןוגוטיפרילייבניץבזכותמושג של גבול, שאין בה יותר ממה שהיא: הרעיון של להתקרב כמה שרוצים, אבל בלי לגעת. ובעזרת החישוב האינפיניטסימלי וכלי העוצמה שלו (המשוואותדיפרנציאליות), אנחנו יכולים לא רק לשלוט בהתנהגות של אלקטרון, אלא גם לנסות ללכת על הירח או לשלוח סוקר מעבר לגבולות של מערכת השמש שלנו.
אבל האם באמת יש דברים אינסופיים?
כל מה שנאמר לעיל ניתן לסכם כך: אינסוף הוא המושג של "הרבה" (או "מאוד קטן"). זה לא מספר ולא מרחק. זה מושג שאנחנו יכולים להרחיב ולהרחיב... ולהביא אותו לכל מקום שאנחנו רוצים.
במתמטיקה, גבולות נקבעים רק על ידי הדמיון שלנו. אבל בפילוסופיה - המתמטיקה המיושמת בעולם האמיתי - יש מגבלות משלנו של היקום שלנו.
בגלל זה, כדי למצוא משהו אמיתי באינסוף שקיים ביקום שלנו, צריך לחפש במקום ספציפי במיוחד: במוח של מתמטיקאי.
האינסוף עשוי לא להתקיים במציאות, אבל הלימוד שלו על ידי המתמטיקה הוא חיוני כדי להבין את העולם סביבנו: מהעצום ועד לבלתי נתפס. דברים מתחום מדעי בסיסי...
ז'וזה אנטוניו פרדו באסאס אינו מספק ייעוץ, עובד, מחזיק במניות או מקבל מימון מחברה או ארגון כלשהו שעלול להרוויח מהפרסום של מאמר זה, ואינו חושף קשרים משמעותיים מלבד תפקידו האקדמי.