W niedawnymwywiadziefrancuski fizyk i popularyzator naukiChristophe Galfard, uczeń własnyStephen Hawking, stwierdził, że „Wszechświat, który obserwujemy teleskopami, jest skończony. Niekończoność istnieje tylko w matematyce”.
Może to wydawać się kontrowersyjnym i nawet odważnym stwierdzeniem dla kogoś, kto zajmuje się nauką. Choć prawda jest taka, że w naszym codziennym życiu używamy słowa „nieskończoność” prawdopodobnie zbyt lekko.
Niekończąca się codzienność
Wielu z naszych czytelników, rodziców i opiekunów nastolatków, z pewnością wykazuje nieskończoną cierpliwość (lub odwrotnie, może oni są cierpliwi, kto wie?). Kiedy spotkanie społeczne lub zawodowe staje się nudne, mówimy, że trwa nieskończenie długo. A co mówią o nieskończonych kolejkach telefonicznych, aby porozmawiać z człowiekiem, a nie z chatbotem, gdy dzwonią do obsługi klienta? NawetToy Storyprzypomniało nam, że powinniśmy iść "do nieskończoności i dalej".
Zwykle, gdy używamy tego słowa, odnosimy się do czegoś niezwykle dużego, ogromnej liczby. Jednak w matematyce to nie do końca tak.
Niekończoność w matematyce
Niekończoność matematyczna nie jest liczbą, lecz pojęciem. Wszyscy wiemy, jak liczyć: 1, 2, 3… Do tego używamy liczb, które w matematyce nazywamy liczbami naturalnymi. Ale czy potrafiłbyś powiedzieć, jaka jest największa liczba, którą znasz? W rzeczywistości, jest to pytanie wprowadzające w błąd, ponieważ, gdy jakaś bardzo duża liczba pojawi się w Twoim umyśle, a następnie dodasz "jedną", już będziesz miał jeszcze większą.
Z tej perspektywy moglibyśmy powiedzieć, że istnieje nieskończenie wiele liczb (starożytni Grecy –przede wszystkim Arystypat –twierdzą, że „istnieje więcej liczb niż jakąkolwiek skończoną ilość, jaką możemy sobie wyobrazić”). Syn dobrej przyjaciółki – wybitnej matematyczki i popularyzatorki, Clary Grima – w wieku 9 lat powiedział, że „niekończoność to to, co wy, matematycy, wymyśliliście, kiedy zmęczyliście się z liczeniem”.
Prawda jest taka, że to zdanie jest doskonale trafne. Bo to, że zbiór obiektów (lub liczb) może być nieskończony, to jedno, a to, że mówimy, że istnieje nieskończona liczba takich obiektów, to drugie. Ten sposób myślenia rodzi mnóstwo problemów… które Aristoteles przewidział, wprowadzając pojęcienieskończoności potencjalnej i aktualnej.
Pierwsza z nich jest synonimem nieskończonego: istnieje więcej obiektów niż każda wyobrażalna ilość. To pasuje do naszej logiki. Nasz mózg jest na to przygotowany. Natomiast z nieskończonością aktualną jest inna historia. To taki skok, który musimy wykonać, żeby powiedzieć, że istnieją "nieskończona liczba liczb". Bo, jeśli zaakceptujemy, że zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, to zaczynają się dziać "dziwne rzeczy". Pierwsza z nich to próba odpowiedzenia na to pytanie: która liczba jest większa, liczby naturalne czy liczby parzyste?
Najbardziej prawdopodobną odpowiedzią, która przyjdzie nam do głowy, jest, że "istnieje podwojna liczba liczb naturalnych niż liczb parzystych". Czy jesteś pewien?
Rozmiary nieskończoności
Wyobraźmy sobie, że umieszczamy liczby naturalne w jednej szufladzie, a liczby parzyste w drugiej. Z pierwszej szuflady wyciągam liczbę naturalną. Następnie szukam jej podwójnej wartości w drugiej szufladzie i umieszczam je razem. Jeśli założymy, że ten proces kiedyś się kończy, to obie szuflady stają się jednocześnie puste. Gdyby zamiast liczb były widelce i łyżki, to na pewno powiedzielibyśmy, że w obu szufladach jest tyle samo. Podobnie jest z liczbami.
Nietypowe, prawda? Ale historia się nie kończy tutaj. Na przełomie XIX wieku, niemiecki matematyk,Georg Cantor, wykazał, że, przyjmując pełne uznanie dla współczesnego pojęcia nieskończoności, nie istnieje tylko jedna nieskończoność, ale wiele. Ile? Więcej niż jakąkolwiek ilość, jaką możemy sobie wyobrazić.
Dziękiargumentowi diagonalizacjiCantor wykazał, że nieskończoność liczb naturalnych, czyli tych, które służą do liczenia, jest mniejsza niż nieskończoność, która powstaje przy liczeniu punktów w odcinku, czyli liczby rzeczywistej.
A partir daí, a szaleństwo… zarówno nieskończoności, jak i jej twórcy, ponieważ Cantor zmarł po serii powtarzających się epizodów depresji i hospitalizacji w zakładach psychiatrycznych. Jego rewolucyjne idee były mocno krytykowane przez niektórych matematyków tamtych czasów, w tym przez jednego z jego profesorów w Berlinie,Leopold Kronecker, który nawet pisał, że Cantor to "oszust"i że jego idee są "bardziej odpowiednie dla cyrku", niż dla matematyki.
Nieskończoność w dzisiejszych czasach
Dzisiaj wszyscy chwalimy dzieło Cantora i celebrujemy moment, w którym stworzył „nieskończny raj, z którego nikt nas nie wydala”, jak to on sam wyraził.– powiedział matematyk David Hilbert w 1925 roku.
W związku z tym, nieskończoność stała się kolejnym pojęciem w matematyce. Nie jest to liczba, nie jest to odległość… to sposób, w jaki my, matematycy, potrafimy przekroczyć granice naszej wyobraźni, bez szaleństwa, i pracować z tym.
Bez nieskończności, nie mielibyśmyobliczenia rachunku różniczkowegonp. przykład. Po ich jednoczesnym odkryciu przez wybitnych geniuszyIsaaca NewtonaorazGottfrieda Leibnizata narzędzie osiągnęło swój obecny stan dziękipojęcie granicy, która w rzeczywistości jest ideą zbliżania się do siebie tak bardzo, jak tylko chcemy, ale bez fizycznego kontaktu. A dzięki rachunkowi różniczkowemu i jego potężnym narzędziom (równania różniczkowe, dzięki czemu udało się nam kontrolować zachowanie elektronu, a także podjąć próbę dotknięcia Księżyca lub wysłać sondę poza granice naszego Układu Słonecznego.
Czy naprawdę istnieją nieskończone rzeczy?
Wszystko, co zostało powiedziane powyżej, można podsumować następująco: nieskończoność to koncepcja bardzo dużego (lub bardzo małego). Nie jest to liczba ani odległość. To koncepcja, którą możemy rozciągać i rozciągać... i zabrać tak daleko, jak tylko chcemy.
W matematyce granice są narzucane jedynie przez naszą wyobraźnię. W fizyce – matematyce stosowanej do rzeczywistości – jednak istnieją własne ograniczenia naszego wszechświata.
Dlatego, aby znaleźć coś naprawdę nieskończonego w wszechświecie, w którym żyjemy, wystarczy szukać w bardzo konkretnym miejscu: w umyśle matematyka.
Nieskończoność może nie istnieć w rzeczywistości, ale jej badanie przez matematykę jest niezbędne, aby zrozumieć świat, który nas otacza: od ekstremalnie dużego do niewyobrażalnie małego. Rzeczy z podstawy nauki...
José Antonio Prado Bassas nie udziela porad, nie pracuje, nie posiada akcji ani nie otrzymuje finansowania od jakiejkolwiek firmy lub organizacji, która mogłaby skorzystać z publikacji tego artykułu, a także nie ujawnił żadnych istotnych powiązań poza swoim stanowiskiem akademickim.